$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
（再掲）
$X \sim \LN(\mu, \sigma^2)$である時、その確率密度関数$f(x)$は、
$$\begin{aligned} f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2} x} \exp[- \dfrac{(\log x – \mu)^2}{2 \sigma^2}] ~~ (x \gt 0) \end{aligned}$$であり、その特性値は、
$$\begin{aligned} &{\small ①平均：}E[X] = \exp [\mu + \dfrac{1}{2} \sigma^2] \\ &{\small ②分散：}V[X] = \exp [ 2 \mu + \sigma^2] \cdot \{ \exp(\sigma^2) – 1 \} \\ &{\small ③積率母関数}M^X(\theta){\small は} \theta=0 {\small まわりで（} \theta \gt 0 {\small で） 存在しません} \end{aligned}$$となる。
（⓪おまけ. $\log X$が正規分布に従う時、$X$は対数正規分布に従うことの証明）
$Y (= \log X ) \sim \N(\mu, \sigma^2)$であるから、$Y$の確率密度関数$g(y)$は、
$$\begin{aligned} g(y) &= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp [- \dfrac{(y – \mu)^2}{2 \sigma^2}] \end{aligned}$$である。
よって、
$$\begin{aligned} f(x) &= g(y) \cdot |\dfrac{\partial y}{\partial x}| \\ &{\scriptsize (＜確率変数の変数変換＞)} \\ &= g(y) \cdot |\dfrac{\partial}{\partial x} (\log x)| \\ &= g(y) \cdot \dfrac{1}{x} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2} \boldsymbol{x}} \exp[- \dfrac{(\boldsymbol{\log x} – \mu)^2}{2 \sigma^2}] \end{aligned}$$
（参照：＜確率変数の変数変換＞）
（①平均$E[X]$の証明）
（②分散$V[X]$の証明）
$X \sim \LN(\mu, \sigma^2)$である時、$Y (= \log X ) \sim \N(\mu, \sigma^2)$であるから、$Y$の積率母関数$M^Y(\theta)$は、
$$\begin{aligned} M^Y(\theta) = \exp [\mu \theta + \dfrac{1}{2} \sigma^2 \theta^2] \end{aligned}$$であったが、
$$\begin{aligned} M^Y(\theta) &= E[e^{\theta Y}] \\ &= E[X^{\theta}] \\ &{\scriptsize (X=e^{\theta})} \end{aligned}$$であるため、
$$\begin{aligned} E[X^{\theta}] = \exp [\mu \theta + \dfrac{1}{2} \sigma^2 \theta^2] ~~~~~ \mathrm{(A)} \end{aligned}$$が成立する。
$\mathrm{(A)}$に$\theta=1, 2$を代入すると、$$\begin{aligned} E[X] &= \exp [\mu + \dfrac{1}{2} \sigma^2] \\ E[X^2] &= \exp [ 2 \mu + 2 \sigma^2] \end{aligned}$$となる。
よって、$$\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] – (E[X])^2 \\ &= \exp [ 2 \mu + 2 \sigma^2] – \{ \exp [\mu + \dfrac{1}{2} \sigma^2] \}^2 \\ &= \exp [ 2 \mu + \sigma^2] \cdot \{ \exp(\sigma^2) – 1 \} \end{aligned}$$
