$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
（再掲）
$T \sim \t(n)$である時、その確率密度関数$f(t)$は、
$$\begin{aligned} f(t) = \dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} (1 + \dfrac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} ~~ (- \infty \lt t \lt \infty) \end{aligned}$$であり、その特性値は、
$$\begin{aligned} &{\small ①平均：}E[T] = 0 ~~ {\small (ただしn \gt 1)} \\ &{\small ②分散：}V[T] = \dfrac{n}{n-2} ~~ {\small (ただしn \gt 2)} \\ &③{\small 積率母関数}M^T(\theta){\small は\theta \neq 0 で存在しません} \end{aligned}$$（注意：$E[T] ~{\small (n=1)}, V[T] ~ {\small (n=1, 2)}$は存在しません）となる。
（①平均$E[T]$の証明）
以下、$n \gt 1$とする。
$$\begin{aligned} E[T] &= \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) dt \\[10px] &= \int_{-\infty}^{\infty} t \cdot \dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} (1 + \dfrac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} dt \\[10px] &= \dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} t (1 + \dfrac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} dt}_{(1)} ~~~~~ \mathrm{(A)} \end{aligned}$$であり、
$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} |t| (1 + \dfrac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} dt &= 2 \cdot \int_{0}^{\infty} |t| (1 + \dfrac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} dt \\ &{\scriptsize (\int内は偶関数であるため)} \\[10px] &= 2 \cdot \int_{0}^{\infty} t (1 + \dfrac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} dt \\[10px] &= 2 \cdot \left[ \dfrac{1}{(-\frac{n+1}{2} + 1)\cdot (\frac{2}{n})} (1 + \dfrac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}+1} \right]_{0}^{\infty} \\[10px] &= \dfrac{2n}{n-1} \end{aligned}$$となるため$\mathrm{(A)}$の$(1)$は有限値収束する。
よって、
$$\begin{aligned} E[T] &= \dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot 0 \\ &{\scriptsize (\int内部は奇関数であるため全区間で積分すると0)} \\[10px] &= 0 \end{aligned}$$となる。
（②分散$V[T]$の証明）
以下、$n \gt 2$とする。
$V[T]$を求めるにあたり、まず$E[T^2]$を求める。
$$\begin{aligned} E[T^2] &= \int_{-\infty}^{\infty} t^2 f(t) dt \\[10px] &= \int_{-\infty}^{\infty} t^2 \cdot \dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} (1 + \dfrac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} dt \\[10px] &= \dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} t^2 (1 + \dfrac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} dt \\[10px] &= \dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot 2 \int_{0}^{\infty} t^2 (1 + \dfrac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} dt \\ &{\scriptsize (\int内部は偶関数)} \end{aligned}$$
ここで、$1 + \dfrac{t^2}{n} = \dfrac{1}{s}$、とおくと、$t: 0 \to \infty$の時、$s: 1 \to 0$となる。
また、$t \gt 0$のもとで、
$$\begin{aligned} t &= \sqrt{n} (\dfrac{1}{s} – 1)^{\frac{1}{2}} \\[10px] \Rightarrow \dfrac{dt}{ds} &= \sqrt{n} \cdot \dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{s} – 1)^{-\frac{1}{2}} (- \dfrac{1}{s^2}) \end{aligned}$$となる。
よって、
$$\begin{aligned} E[T^2] &= \dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot 2 \int_{1}^{0} n(\dfrac{1}{s} – 1)(\dfrac{1}{s})^{- \frac{n+1}{2}} \cdot \sqrt{n} \cdot \dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{s} – 1)^{-\frac{1}{2}} (- \dfrac{1}{s^2}) ds \\[10px] &= \dfrac{n \cdot \Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot \int_0^1 (\dfrac{1}{s} – 1)^{\frac{1}{2}} \cdot (\dfrac{1}{s})^{(- \frac{n+1}{2} + 2)} ds \\[10px] &= \dfrac{n \cdot \Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot \int_0^1 (1 – s)^{\frac{1}{2}} \cdot s^{\frac{n}{2} – 2} ds \\[10px] &= \dfrac{n \cdot \Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot \int_0^1 s^{(\frac{n}{2} – 1) – 1} \cdot (1 – s)^{\frac{3}{2} – 1} ds \\[10px] &= \dfrac{n \cdot \Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot B(\frac{n}{2} – 1, \frac{3}{2}) \\ &{\scriptsize (B(\bullet,\circ) = \int_0^1 s^{\bullet – 1} (1 – s)^{\circ – 1})} \\[10px] &= \dfrac{n \cdot \Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot \dfrac{\Gamma(\frac{n}{2} – 1) \Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma (\frac{n+1}{2})} \\ &{\scriptsize (B(\bullet, \circ) = \dfrac{\Gamma(\bullet) \Gamma(\circ)}{\Gamma(\bullet + \circ)})} \\[10px] &= \dfrac{n}{\sqrt{\pi} \cdot (\frac{n}{2} – 1) \Gamma(\frac{n}{2} – 1)} \cdot \Gamma(\tfrac{n}{2} – 1) \Gamma(\tfrac{3}{2}) \\ &{\scriptsize (\Gamma(\bullet+1) = \bullet \Gamma(\bullet))} \\[10px] &= \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \dfrac{2n}{n-2} \cdot \dfrac{1}{2} \Gamma(\tfrac{1}{2}) \\ &{\scriptsize (\Gamma(\bullet+1) = \bullet \Gamma(\bullet))} \\[10px] &= \dfrac{n}{n-2} \\ &{\scriptsize (\Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi})} \end{aligned}$$
よって、
$$\begin{aligned} V[T] &= E[T^2] – (E[T])^2 \\[10px] &= \dfrac{n}{n-2}-0 \\[10px] &= \dfrac{n}{n-2} \end{aligned}$$
