$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
($\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2$の分解)
以下の分解が成立します。
（頻出なので覚えておいてください）
$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 = \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}_n)^2 + n (\bar{x}_n-\mu)^2 \end{aligned}$$
（証明）
上式の左辺について、
$$\begin{aligned} {\small (上式の左辺)} &= \sum_{i=1}^n \{ (x_i-\bar{x}_n) + (\bar{x}_n-\mu) \}^2 \\[10px] &= \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}_n)^2 + 2 \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}_n)(\bar{x}_n-\mu) + \sum_{i=1}^n (\bar{x}_n-\mu)^2 \\[10px] &= \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}_n)^2 + 2 (\bar{x}_n-\mu) \cdot \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}_n) + n (\bar{x}_n-\mu)^2 \\[10px] &= \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}_n)^2 + 2 (\bar{x}_n-\mu) \cdot \{\underbrace{(\sum_{i=1}^n x_i)-n\bar{x}_n)}_{(\bullet)}\} + n (\bar{x}_n-\mu)^2 \\[10px] &= \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}_n)^2 + n (\bar{x}_n-\mu)^2 \\ &{\scriptsize ((\bullet)=0より)} \\[10px] &= {\small (上式の右辺)} \end{aligned}$$となる。
よって、題意は示された。
