カプランマイヤー推定量・曲線とログランク検定

$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}} \\ \gdef \indep {\mathop{\perp\!\!\!\!\perp}} \\ \gdef \tr {\mathrm{tr}}$

1. カプランマイヤー推定量とカプランマイヤー曲線

カプランマイヤー推定量は生存関数$S(t)$の推定量です。


さて、$n$人の患者さんを対象とした臨床研究において、時点$t_i (i=1, \ldots, h)$でそれぞれ$d_i$回ずつのイベントが発生したとします。右側打ち切りが発生しうると想定して、時点$t_i$の直前までフォローされていた患者さんを$n_i$人とします。（この$n_i$人を、イベントが発生しうる候補者の数ということで、”number at risk“と呼びます）




この時、カプランマイヤー推定量$\hat{S}(t)$は、
$$\begin{aligned} \hat{S}(t) = \begin{cases} 1 ~~~~~ \small{((0 \leqq) t \lt t_1)} \\ \prod_{i; t_i \leqq t} (1-\dfrac{d_i}{n_i}) ~~~~~ \small{(t \geqq t_1)} ~~~~~ \mathrm{(A)} \end{cases} \end{aligned}$$となります。

また、横軸に時点$t$を、縦軸にカプランマイヤー推定量$\hat{S}(t)$をプロットしたものをカプランマイヤー曲線と呼びます。 なお、右側打ち切りが生じた場合には『+』のように縦線を加えるのが通常です。

2. ログランク検定

ログランク検定は2つの生存曲線（生存関数$S(t)$）に差があるかの検定に用いられます。


グループ1, 2の生存関数をそれぞれ$S_1(t), S_2(t)$とする時、ログランク検定の帰無仮説$H_0$、対立仮説$H_1$はそれぞれ以下の通りです。
$$\begin{aligned} \begin{cases} {\small 帰無仮説} H_0: S_1(t) = S_2(t) ~~~~~ (\forall t) \\ {\small 帰無仮説} H_1: H_0 {\small が不成立} \end{cases} \end{aligned}$$




いずれかのグループでイベントが発生した時点を$t_j$とし、時点$t_j$における各グループのnumber at riskをそれぞれ$n_{1, j}$人、$n_{2, j}$人、時点$t_j$における各グループのイベント発生数をそれぞれ$d_{1,j}$、$d_{2,j}$とします。 （ただし、$n_j = n_{1,j} + n_{2,j}, d_j = d_{1,j} + d_{2,j}$とします）




帰無仮説$H_0$の下で$d_{i,j} ~~ {\small (i=1,2)}$は、$n_j, n_{i,j}, d_j$を条件付けた上で、超幾何分布$\HG(n_j, n_{i,j}, d_j)$に従うため、
$$\begin{aligned} E[d_{i,j}] &= d_j (\frac{n_{i,j}}{n_j}) \\ V[d_{i,j}] &= d_j (\frac{n_{i,j}}{n_j}) (1-\frac{n_{i,j}}{n_j}) \cdot \frac{n_j-n_{i,j}}{n_j-1} \end{aligned}$$となります。（参照：＜離散分布＞＞「超幾何分布」）




そして、ログランク統計量$Z$について、
$$\begin{aligned} Z = \frac{\sum_j (d_{\textcolor{red}{1},j}-E[d_{\textcolor{red}{1},j}])} { \sqrt{ \sum_j V[d_{\textcolor{red}{1},j}]} } \overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0,1) \end{aligned}$$
が成立すること、または$Z^2$について、
$$\begin{aligned} Z^2 = \frac{(\sum_j (d_{\textcolor{red}{1},j}-E[d_{\textcolor{red}{1},j}]))^2} { \sum_j V[d_{\textcolor{red}{1},j}] } \overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \chi^2 (1) \end{aligned}$$が成立することを用いて検定を行います。
（ただし、赤文字部分は”$2$”でも構いません）




この$Z$または$Z^2$は観測データから計算され、有意水準を$\alpha$とすると、

⚫︎$|Z| \leqq Z_{\textcolor{red}{\frac{\alpha}{2}}} \Rightarrow {\small H_0を選択}$
⚫︎$|Z| \gt Z_{\textcolor{red}{\frac{\alpha}{2}}} \Rightarrow {\small H_1を選択}$

または、

⚫︎$Z^2 \leqq \chi^2_{\textcolor{red}{\alpha}} (1) \Rightarrow {\small H_0を選択}$
⚫︎$Z^2 \gt \chi^2_{\textcolor{red}{\alpha}} (1) \Rightarrow {\small H_1を選択}$

という判定がなされます。
（ただし$Z_{\frac{\alpha}{2}}, \chi^2_{\alpha} (1)$をそれぞれ$\N(0,1)$の上側$\frac{\alpha}{2}$点、$\chi^2 (1)$の上側$\alpha$点とします）