$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
（再掲）
$X \sim \U(a, b)$である時、その確率密度関数$f(x)$は、
$$\begin{aligned} f(x) = \dfrac{1}{b-a} ~~ (a \leqq x \leqq b) \end{aligned}$$であり、その特性値は、
$$\begin{aligned} &{\small ①平均：}E[X] = \dfrac{1}{2} (a+b) \\ &{\small ②分散：}V[X] = \dfrac{1}{12} (b-a)^2 \\ &{\small ③積率母関数：}M^X(\theta) = \begin{cases} \dfrac{e^{b\theta} – e^{a\theta}}{(b-a)\theta} ~~ &{\small (\theta \neq 0)} \\[5px] 1 ~~ &{\small (\theta = 0)} \end{cases} \end{aligned}$$となる。
（①平均$E[X]$の証明）
$$\begin{aligned} E[X] &= \int_a^{b} x f(x) dx \\ &= \int_a^{b} x \cdot \dfrac{1}{b – a} dx \\ &= \dfrac{1}{b – a} \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_a^{b} \\ &= \dfrac{1}{2} (a+b) \end{aligned}$$
（②分散$V[X]$の証明）
$V[X]$を求めるにあたり、まず$E[X^2]$を求める。
$$\begin{aligned} E[X^2] &= \int_a^{b} x^2 f(x) dx \\ &= \int_a^{b} x^2 \dfrac{1}{b – a} dx \\ &= \dfrac{1}{b – a} \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_a^{b} \\ &= \dfrac{1}{3} (b^2 + ba + a^2) \end{aligned}$$
よって、
$$\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] – (E[X])^2 \\ &{\scriptsize (これは公式)} \\ &= \dfrac{1}{3} (b^2 + ba + a^2) – \{ \dfrac{1}{2} (a+b) \}^2 \\ &= \dfrac{1}{12} (b – a)^2 \end{aligned}$$
（③積率母関数$M^X(\theta)$の証明）
$\theta=0$の場合に$M^X(\theta)=1$であることは明確なので、以下は$\theta \neq 0$の場合を扱う。
$$\begin{aligned} M^X(\theta) &= E[e^{\theta X}] \\ &= \int_a^{b} e^{\theta x} f(x) dx \\ &= \int_a^{b} e^{\theta x} \dfrac{1}{b – a} dx \\ &= \dfrac{1}{b – a} \left[ \dfrac{1}{\theta} e^{\theta x} \right]_a^{b} \\ &= \dfrac{e^{b\theta} – e^{a\theta}}{(b-a)\theta} \end{aligned}$$
