$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
（再掲）
$X \sim \NB (r, p)$である時、その確率関数$p(x)$は、
$$\begin{aligned} p(x) (= Pr\{ X=x \}) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r} ~~ {\small (x=r, r+1, \ldots)} \end{aligned}$$であり、その特性値は、
$$\begin{aligned} &{\small ①平均：}E[X] = \frac{r}{p} \\ &{\small ②分散：}V[X] = \frac{(1-p)r}{p^2} \\ &{\small ③確率母関数：}G^X(s) = \left\{\frac{ps}{1-(1-p)s} \right\}^r ~~ {\small (ただし|(1-p)s| \lt 1)} \end{aligned}$$となる。
『幾何分布を応用する方法』『愚直に計算する方法』の$2$通りの証明が考えられますが、ここでは計算の少ない『幾何分布を応用する方法』で証明します。
なお、幾何分布の特性値を用いるので、忘れた方は＜離散分布＞：「6. 幾何分布」をご参照ください。
（準備）
$X_j \overset{i.i.d} \sim \NB(1, p) ~~ {\small (j=1, \ldots, r)}$である時、$X = \sum_{j=1}^r X_j \sim \NB(r, p)$、となる。
（幾何分布の再生性より）
（①平均$E[X]$の証明）
$$\begin{aligned} E[X] &= E[\sum_{j=1}^r X_j] \\ &= \sum_{j=1}^r E[X_j] \\ &= \sum_{j=1}^r \dfrac{1}{p} \\ &= \frac{r}{p} \end{aligned}$$
（②分散$V[X]$の証明）
$$\begin{aligned} V[X] &= V[\sum_{j=1}^r X_j] \\ &= \sum_{j=1}^r V[X_j] \\ &{\scriptsize (X_j ~(j=1, \ldots, r)の独立性から)} \\ &= \sum_{j=1}^r \dfrac{1-p}{p^2} \\ &= \frac{(1-p)r}{p^2} \end{aligned}$$
（③確率母関数$G^X(s)$の証明）
（以下は、$|(1-p)s| \lt 1$、とする）
$$\begin{aligned} G^X(s) &= E[s^X] \\[10px] &= E[s^{\sum_{j=1}^r X_j}] \\[10px] &= \prod_{j=1}^r E[s^{X_j}] \\ &{\scriptsize (X_j ~(j=1, \ldots, r)の独立性から)} \\[10px] &= \prod_{j=1}^r \left\{ \frac{ps}{1-(1-p)s} \right\} \\[10px] &= \left\{\frac{ps}{1-(1-p)s} \right\}^r \end{aligned}$$
