$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
（再掲）
$X \sim \Ga(a, b)$である時、その確率密度関数$f(x)$は、
$$\begin{aligned} f(x) = \dfrac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-\frac{x}{b}} ~~ (x \gt 0) \end{aligned}$$であり、その特性値は、
$$\begin{aligned} &{\small ①平均：}E[X] = ab \\ &{\small ②分散：}V[X] = ab^2 \\ &{\small ③積率母関数：}M^X(\theta) = (1 – b\theta)^{-a} ~~ {\small (ただし1-b\theta \gt 0)} \end{aligned}$$となる。
（①平均$E[X]$の証明）
$$\begin{aligned} E[X] &= \int_0^{\infty} x f(x) dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} x \cdot \dfrac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{ \frac{1}{a} \Gamma(a+1) \cdot \frac{1}{b} b^a} x^{(a + 1) – 1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\ &{\scriptsize (\Gamma(\bullet+1) = \bullet \Gamma(\bullet))} \\[10px] &= ab \cdot \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(a + 1) b^{a+1}} x^{(a + 1) – 1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= ab \\ &{\scriptsize (\int内は\Ga(a+1, b)の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)} \end{aligned}$$
（②分散$V[X]$の証明）
$V[X]$を求めるにあたり、まず$E[X^2]$を求める。
$$\begin{aligned} E[X^2] &= \int_0^{\infty} x^2 f(x) dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} x^2 \cdot \dfrac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\frac{1}{a(a+1)} \Gamma(a+2) \cdot \frac{1}{b^2} b^{a+2}} x^{(a + 2) – 1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= a (a + 1) b^2 \cdot \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(a+2) b^{a+2}} x^{(a + 2) – 1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= a(a+1)b^2 \\ &{\scriptsize (\int内は\Ga(a+2, b)の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)} \end{aligned}$$
よって、
$$\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] – (E[X])^2 \\[10px] &= a(a+1)b^2 – (ab)^2 \\[10px] &= ab^2 \end{aligned}$$
（③積率母関数$M^X(\theta)$の証明）
$$\begin{aligned} M^X(\theta) &= E[e^{\theta X}] \\[10px] &= \int_0^{\infty} e^{\theta x} f(x) dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} e^{\theta x} \cdot \dfrac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-(\frac{1 – b\theta}{b})x} dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(a) \cdot (1 – b\theta)^a (\frac{b}{1 – b\theta})^a} x^{a-1} e^{-(\frac{1 – b\theta}{b})x} dx \\[10px] &= (1 – b\theta)^{-a} \cdot \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(a) \cdot (\frac{b}{1 – b\theta})^a} x^{a-1} e^{-(\frac{1 – b\theta}{b})x} dx \\[10px] &= (1 – b\theta)^{-a} \\ &{\scriptsize (\int内は\Ga(a, \frac{b}{1 – b\theta})の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)} \end{aligned}$$
