$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
（ポアソン分布の正規近似）
$\lambda(\gt 0)$が整数か否かに関わらず、$\lambda$が充分大きい時、$\Po(\lambda)$は$\N(\lambda, \lambda)$に近似される。
（証明）
$\lambda$が整数でない場合を含め、$\lfloor \lambda \rfloor$を『$\lambda$を超えない最大の整数』とすると、
$Y_i \overset{i.i.d}\sim \Po(1) ~ {\small (i=1,\ldots, \lfloor \lambda \rfloor)}, ~ \varepsilon_{\lambda} \sim \Po(\lambda – \lfloor \lambda \rfloor)$である時、
$$\begin{aligned} X_{\lambda} = Y_1 + \cdots + Y_{\lfloor \lambda \rfloor} + \varepsilon_{\lambda} \sim \Po(\lambda) \end{aligned}$$となる。（ポアソン分布の再生性より）
本題の$\dfrac{\frac{X_{\lambda}}{\lambda}-1}{\frac{1}{\sqrt{\lambda}}}$については、
$$\begin{aligned} \dfrac{\frac{X_{\lambda}}{\lambda}-1}{\frac{1}{\sqrt{\lambda}}} &= \dfrac{\frac{1}{\lambda} (\sum_{i=1}^{\lfloor \lambda \rfloor} Y_i + \varepsilon_{\lambda})-1}{\frac{1}{\sqrt{\lambda}}} \\[20px] &= \dfrac{\frac{\lfloor \lambda \rfloor}{\lambda} \cdot \{ \frac{1}{\lfloor \lambda \rfloor } (\sum_{i=1}^{\lfloor \lambda \rfloor} Y_i + \varepsilon_{\lambda} )-\frac{\lambda}{\lfloor \lambda \rfloor} \}}{\frac{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}{\sqrt{\lambda}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}} \\[20px] &= \frac{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}{\sqrt{\lambda}} \cdot \dfrac{\frac{1}{\lfloor \lambda \rfloor } (\sum_{i=1}^{\lfloor \lambda \rfloor} Y_i + \varepsilon_{\lambda} )-\frac{\lambda}{\lfloor \lambda \rfloor}}{\frac{1}{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}} \\[20px] &= \frac{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}{\sqrt{\lambda}} \cdot \dfrac{\frac{1}{\lfloor \lambda \rfloor } (\sum_{i=1}^{\lfloor \lambda \rfloor} Y_i)-1}{\frac{1}{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}} + \frac{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}{\sqrt{\lambda}} \cdot \dfrac{\frac{\varepsilon_{\lambda}}{\lfloor \lambda \rfloor}}{\frac{1}{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}} + \frac{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}{\sqrt{\lambda}} \cdot \dfrac{1-\frac{\lambda}{\lfloor \lambda \rfloor}}{\frac{1}{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}} \\ &{\scriptsize (中心極限定理を適用できる第1項目を作り出すために変形した)} \\[20px] &= \underbrace{\frac{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}{\sqrt{\lambda}}}_{(1)} \cdot \underbrace{\dfrac{\frac{1}{\lfloor \lambda \rfloor } (\sum_{i=1}^{\lfloor \lambda \rfloor} Y_i)-1}{\frac{1}{\sqrt{\lfloor \lambda \rfloor}}}}_{(2)} + \underbrace{\dfrac{\varepsilon_{\lambda} + \lfloor \lambda \rfloor – \lambda}{\sqrt{\lambda}}}_{(3)} ~~~~~ \mathrm{(A)} \end{aligned}$$となるが、
$$\begin{aligned} {\small (\mathrm{(A)}の(1))} &\overset{\displaystyle {p}}\longrightarrow 1 \\ &{\scriptsize (これは明らか)} \\[10px] {\small (\mathrm{(A)}の(2))} &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0, 1) \\ &{\scriptsize (中心極限定理より)} \end{aligned}$$となっている。
また、$\mathrm{(A)}$の$(3)$については、
$$\begin{aligned} E[\dfrac{\varepsilon_{\lambda} + \lfloor \lambda \rfloor – \lambda}{\sqrt{\lambda}}] &= \dfrac{E[\varepsilon_{\lambda}]}{\sqrt{\lambda}} + \dfrac{\lfloor \lambda \rfloor – \lambda}{\sqrt{\lambda}} \\[10px] &= \dfrac{\lambda – \lfloor \lambda \rfloor}{\sqrt{\lambda}} + \dfrac{\lfloor \lambda \rfloor – \lambda}{\sqrt{\lambda}} \\ &{\scriptsize (\varepsilon_{\lambda} \sim \Po(\lambda – \lfloor \lambda \rfloor)より、E[\varepsilon_{\lambda}]=\lambda – \lfloor \lambda \rfloor)} \\[10px] &= 0 \\[20px] V[\dfrac{\varepsilon_{\lambda} + \lfloor \lambda \rfloor – \lambda}{\sqrt{\lambda}}] &= \dfrac{V[\varepsilon_{\lambda}]}{\lambda} \\[10px] &= \dfrac{\lambda-\lfloor \lambda \rfloor}{\lambda} \\ &{\scriptsize (\varepsilon_{\lambda} \sim \Po(\lambda – \lfloor \lambda \rfloor)より、V[\varepsilon_{\lambda}]=\lambda – \lfloor \lambda \rfloor)} \\[10px] &\lt \dfrac{1}{\lambda} \overset{\lambda \to \infty}\longrightarrow 0 \end{aligned}$$であることから、
$$\begin{aligned} {\small (\mathrm{(A)}の(3))} &\overset{\displaystyle {p}}\longrightarrow 0 \end{aligned}$$となる。 （ただし、『$V[\bullet]\to 0$』ならば『$\bullet \overset{\displaystyle {p}}\longrightarrow E[\bullet]$』、という事実を利用した）
以上とスルツキーの定理より（参照：＜補足. スルツキーの定理＞）、
$$\begin{aligned} \dfrac{\frac{X_{\lambda}}{\lambda}-1}{\frac{1}{\sqrt{\lambda}}} &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0, 1) \end{aligned}$$
が成立する。
よって、
$$\begin{alignat}{2} \notag &&\dfrac{\frac{X_{\lambda}}{\lambda}-1}{\frac{1}{\sqrt{\lambda}}} &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0, 1) \\[10px] \notag &\Rightarrow& \sqrt{\lambda} (\frac{X_{\lambda}}{\lambda}-1) &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0,1) \\[10px] \notag &\Rightarrow& \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} (X_{\lambda}-\lambda) &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0,1) \\[10px] \notag &\Rightarrow& X_{\lambda}-\lambda &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0, \lambda) ~~~~~ \mathrm{(A)} \\[10px] \notag &\Rightarrow& X_{\lambda} &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(\lambda, \lambda) ~~~~~ \mathrm{(B)} \end{alignat}$$
となり、題意は示された。
（注意：$\mathrm{(A), (B)}$は”$\lambda$”が分布パラメータに含まれてしまっており、分布収束の正式な書き方ではありません。しかし、この書き方をした方が『$\Po(\lambda)$が$\N(\lambda, \lambda)$に近似されること』を理解しやすいので、この書き方を採用しました。）
