分割表の統計モデル

$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}} \\ \gdef \tr {\mathrm{tr}}$

0. 導入

以下$I$行$J$列の分割表を以下の様な3つのパターンに分けて考えます。
なお、$(i,j)$セルの度数を$X_{ij}$とします。


①どこもfixされない場合
②総和がfixされる場合
③列和または行和がfixされる場合


図で示すと以下の様になります。

1. どこもfixされない場合

各セルの度数はポアソン分布に従うというモデルを想定することができます。
（ポアソン分布に限定されるわけではなく、カウントデータをモデリングできるものであれば構いません。例：負の二項分布）


つまり、同時確率関数$p(x)$は、
$$\begin{aligned} p(x) &= \prod_{i,j} e^{-\theta_{ij}} \frac{\theta_{ij}^{x_{ij}}}{x_{ij}!} ~~~~~ \mathrm{(A)} \\ &{\scriptsize(X_ij \sim \Po(\theta_{ij})とした)} \end{aligned}$$となり、パラメータの自由度は$IJ$となります。

$\mathrm{(A)}$のみ条件が課されたモデルがフルモデルです。




ここで、パラメータ$\theta_{ij}$について、
$$\begin{aligned} \log \theta_{ij} &= \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} ~~~~~ \mathrm{(B)} \\ &{\scriptsize(ただし、\textcolor{red}{\sum_i \alpha_i = \sum_j \beta_j = \sum_i \gamma_{ij} = \sum_j \gamma_{ij} = 0})} \end{aligned}$$としたパラメータの変換（パラメトライズ）を行い、 ある制約条件（帰無仮説に対応）$H_0$が課されたモデルを考えてみます。




●${\small 帰無仮説} H_0: \gamma_{ij} = 0 ~~ {\small (\forall i, j)} ~~~~~ \mathrm{(C)}$


この時、$\log \theta_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j$、となりますが、$\mu, \alpha_i, \beta_j$の自由度はそれぞれ$1,I-1,J-1$となるので、パラメータの自由度は$(I+J+1)$となります。

2. 総和がfixされる場合

各セルの度数は$IJ$項分布に従うというモデルを想定することができます。


つまり、同時確率関数$p(x)$は、
$$\begin{aligned} p(x) &= \frac{n!}{\prod_{i,j} x_{ij}!} \prod_{i,j} p_{ij}^{x_{ij}} ~~~~~ \mathrm{(D)} \\ &{\scriptsize(X_ij \sim \Bin(n,p_{ij})とした)} \end{aligned}$$となり、パラメータの自由度は$(IJ-1)$となります。

（$\sum_{i,j} p_{ij}=1$、という$1$つの制約条件があるので自由度は『1. どこもfixされない場合』よりも$1$下がります）


$\mathrm{(D)}$のみ条件が課されたモデルがフルモデルです。




ここである制約条件（帰無仮説に対応）として以下$H_0$が課されたモデルを考えてみます。




●${\small 帰無仮説} H_0: p_{ij} = p_{i \bullet} p_{\bullet j} ~~ {\small (\forall i, j)} ~~~~~ \mathrm{(E)}$


この時、パラメータの自由度は$(I-1) + (J-1)$となります。

3. 列和または行和がfixされる場合

（ここでは列和がfixされる場合を扱いますが、行和がfixされる場合も同様です）

列和がfixされる場合、各セルの度数は$I$項分布$(\times J)$に従うというモデルを想定することができます。


つまり、同時確率関数$p(x)$は、
$$\begin{aligned} p(x) &= \prod_{j} \{ \frac{n_j!}{\prod_i x_{ij}!} \prod_i p_{ij}^{x_{ij}} \} ~~~~~ \mathrm{(F)} \end{aligned}$$となり、パラメータの自由度は$(I-1) \times J$となります。

（$I$項分布のパラメータの自由度は$(I-1)$であることから由来）


$\mathrm{(F)}$のみ条件が課されたモデルがフルモデルです。




ここである制約条件（帰無仮説に対応）として以下$H_0$が課されたモデルを考えてみます。




●${\small 帰無仮説} H_0: p_{i1} = p_{i2} = \cdots = p_{iJ} ~~ (\forall i) ~~~~~ \mathrm{(G)}$


この時、パラメータの自由度は$(I-1)$となります。