$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
（示すべき内容の再掲）
$X_i \overset{i.i.d}\sim \N(\mu, \sigma^2) ~~{\small (i=1, \ldots, n)}$である時、
$$\begin{aligned} V[(X_i-\mu)^2] = 2 \sigma^4 \end{aligned}$$が成立する。
（証明）
$Z_i \overset{i.i.d}\sim \N(0, 1) ~~{\small (i=1, \ldots, n)}$とすると、
$$\begin{aligned} E[Z_i^4] &= \int_{-\infty}^{\infty} z_i^4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp(-\frac{z_i^2}{2}) dz_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left[ \underbrace{\left[-z_i^3 \cdot \exp(-\frac{z_i^2}{2}) \right]_{-\infty}^{\infty}}_{=0 ~ (中身が奇関数)} + \int_{-\infty}^{\infty} 3 z_i^2 \cdot \exp(-\frac{z_i^2}{2}) dz_i \right] \\ &= 3 \cdot \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} z_i^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp(-\frac{z_i^2}{2}) dz_i}_{=V[Z_i] = 1} \\ &= 3 \end{aligned}$$であるため、
$$\begin{aligned} E[(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^4] &= 3 \\ \Rightarrow E[(X_i-\mu)^4] &= 3 \sigma^4 \end{aligned}$$となる。
よって$V[(X_i-\mu)^2]$について、
$$\begin{aligned} V[(X_i-\mu)^2] &= E[(X_i-\mu)^4]-(\underbrace{E[(X_i-\mu)^2]}_{=V[X_i]=\sigma^2})^2 \\ &= 3 \sigma^4-\sigma^4 \\[10px] &= 2 \sigma^4 \end{aligned}$$となる。
