二項分布・ポアソン分布の正規近似

（正規近似できることの証明）
$Y_i \overset{i.i.d}\sim \Bin(1,p) ~ {\small (i=1,\ldots, n)}$である時、 $$\begin{aligned} X_n = Y_1 + \cdots + Y_n \sim \Bin(n,p) \end{aligned}$$となる。
これは、$X_n=x$となる確率は$Y_1, \ldots, Y_n$のうちいずれか$x$個を$1$として残りを$0$とする確率に等しいためである。（$\Bin(1,p)$は$\Bern(p)$に相当し、二項分布の再生性を用いたとも捉えられる）


${\bar Y_n} (= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i = \frac{X_n}{n})$に対して、$E[Y_i]=p, V[Y_i]=p(1-p)$と中心極限定理より、
$$\begin{alignat}{2} \notag && \dfrac{{\bar Y_n}-p}{\frac{p(1-p)}{{\sqrt n}}} &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0,1) \\[10px] \notag &\Rightarrow& {\sqrt n}({\bar Y_n}-p) &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0, p(1-p)) \\[10px] \notag &\Rightarrow& {\sqrt n} (\frac{X_n}{n}-p) &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0, p(1-p)) \\[10px] \notag&\Rightarrow& \dfrac{1}{{\sqrt n}} (X_n-np) &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0, p(1-p)) \\[10px] \notag&\Rightarrow& X_n-np &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0, np(1-p)) ~~~~~ \mathrm{(A)} \\[10px] \notag &\Rightarrow& X_n &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(np, np(1-p)) ~~~~~ \mathrm{(B)} \end{alignat}$$

よって、題意は示された。

（注意：$\mathrm{(A), (B)}$は”$n$”が分布パラメータに含まれてしまっており、分布収束の正式な書き方ではありません。しかし、この書き方をした方が『$\Bin(n,p)$が$\N(np, np(1-p))$に近似されること』を理解しやすいので、この書き方を採用しました。）

例1.
確率変数$X$を、

• $X$：コインを$10000$回投げる時に表がでる回数

とした時、$Pr\{ X \geqq 5069 \}$を求める。


$X \sim \Bin(10000, \frac{1}{2})$であり、$10000$が充分大きい（$10000 \cdot \frac{1}{2}, 10000 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1-\frac{1}{2})$がある程度大きい）ため正規近似が使えて、
$$\begin{aligned} X &\sim \N(10000 \cdot \frac{1}{2}, 10000 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1-\frac{1}{2})) \\[5px] &= \N(5000, 2500) \end{aligned}$$とみなせる。


$X$を正規化したものを$Y$とおくと、
$$\begin{aligned} Y = \dfrac{X-5000}{\sqrt{2500}} \sim \N(0,1) \end{aligned}$$となるので、
$$\begin{aligned} Pr\{ X \geqq 5069 \} &= Pr\{ Y \geqq \frac{5069-5000}{\sqrt{2500}} \} \\[5px] &= Pr\{ Y \geqq 1.38 \} \\[5px] &= 0.1003 \\ &{\scriptsize (\N(0,1)の正規分布表から)} \end{aligned}$$

（正規近似できることの証明）

（注意：以下は$\lambda$が整数の場合のみ対応しています。より一般的な証明は＜補足. ポアソン分布の正規近似の証明＞を参照）

$Y_i \overset{i.i.d}\sim \Po(1) ~ {\small (i=1,\ldots, \lambda)}$である時、 $$\begin{aligned} X_{\lambda} = Y_1 + \cdots + Y_{\lambda} \sim \Po(\lambda) \end{aligned}$$となる。（ポアソン分布の再生性より）


${\bar Y_{\lambda}} (= \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{\lambda} Y_i = \frac{X_{\lambda}}{\lambda})$に対して、$E[Y_i]=1, V[Y_i]=1$と中心極限定理より、
$$\begin{alignat}{2} \notag && \dfrac{\bar{Y_{\lambda}}-1}{\frac{1}{\sqrt{\lambda}}} &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0,1) \\[10px] \notag &\Rightarrow& \sqrt{\lambda} (\bar{Y_{\lambda}}-1) &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0,1) \\[10px] \notag &\Rightarrow& \sqrt{\lambda} (\frac{X_{\lambda}}{\lambda}-1) &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0,1) \\[10px] \notag &\Rightarrow& \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} (X_{\lambda}-\lambda) &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0,1) \\[10px] \notag &\Rightarrow& X_{\lambda}-\lambda &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(0, \lambda) ~~~~~ \mathrm{(C)} \\[10px] \notag &\Rightarrow& X_{\lambda} &\overset{\displaystyle {d}}\longrightarrow \N(\lambda, \lambda) ~~~~~ \mathrm{(D)} \end{alignat}$$

よって、題意は示された。

（注意：$\mathrm{(C), (D)}$は”$\lambda$”が分布パラメータに含まれてしまっており、分布収束の正式な書き方ではありません。しかし、この書き方をした方が『$\Po(\lambda)$が$\N(\lambda, \lambda)$に近似されること』を理解しやすいので、この書き方を採用しました。）

例2.
確率変数$X$を、

• $X$：ある地点で$1$年間（単位時間）に発生する交通事故の件数

とした時、$X \sim \Po(2500)$、であると仮定する。
この時、$Pr\{ X \geqq 2598 \}$を求める。


$X \sim \Po(2500)$であり、$2500$が充分大きいため正規近似が使えて、 $$\begin{aligned} X &\sim \N(2500, 2500) \end{aligned}$$とみなせる。


$X$を正規化したものを$Y$とおくと、
$$\begin{aligned} Y = \dfrac{X-2500}{\sqrt{2500}} \sim \N(0,1) \end{aligned}$$となるので、
$$\begin{aligned} Pr\{ X \geqq 2598 \} &= Pr\{ Y \geqq \frac{2598-2500}{\sqrt{2500}} \} \\[5px] &= Pr\{ Y \geqq 1.96 \} \\[5px] &= 0.025 \\ &{\scriptsize (\N(0,1)の正規分布表から)} \end{aligned}$$

まとめ.

• 「正規近似」とは『一定の条件の下で分布を正規分布とみなす近似』であり、『一定の条件』とは、二項分布では$n$が充分大きいこと、ポアソン分布では$\lambda$が充分大きいことである。
  
  
• 検定・区間推定を行う時に正規近似を用いることで、取り扱いやすい正規分布の方式を用いることができる。