$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
（再掲）
$X \sim \Be(a, b)$である時、その確率密度関数$f(x)$は、
$$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{B(a,b)} x^{a – 1} (1 – x)^{b – 1} ~~ (0 \lt x \lt 1) \\ &{\small (ただし、B(a,b) = \int_0^1 x^{a – 1} (1 – x)^{b – 1} dx)} \end{aligned}$$であり、その特性値は、
$$\begin{aligned} &{\small ①平均：}E[X] = \dfrac{a}{a + b} \\ &{\small ②分散：}V[X] = \dfrac{ab}{(a + b)^2 (a + b + 1)} \\ &{\small ③積率母関数}M^X(\theta) {\small はきれいな形で書くことができないので、ここでは省きます} \end{aligned}$$となる。
（①平均$E[X]$の証明）
$$\begin{aligned} E[X] &= \int_0^1 x f(x) dx \\[10px] &= \int_0^1 x \cdot \dfrac{1}{B(a,b)} x^{a – 1} (1 – x)^{b – 1} dx \\[10px] &= \int_0^1 \dfrac{1}{B(a,b)} x^{a} (1 – x)^{b – 1} dx \\[10px] &= \int_0^1 \dfrac{1}{(\frac{a+b}{a}) B(a+1, b)} x^{(a+1) – 1} (1 – x)^{b – 1} dx \\ &{\scriptsize (B(\bullet+1, \circ) = \frac{\bullet}{\bullet+\circ}B(\bullet,\circ))} \\[10px] &= \dfrac{a}{a+b} \int_0^1 \dfrac{1}{B(a+1, b)} x^{(a+1) – 1} (1 – x)^{b – 1} dx \\[10px] &= \dfrac{a}{a+b} \\ &{\scriptsize (\int内は\Be(a+1, b)の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)} \end{aligned}$$
（②分散$V[X]$の証明）
$V[X]$を求めるにあたり、まず$E[X^2]$を求める。
$$\begin{aligned} E[X^2] &= \int_0^1 x^2 f(x) dx \\[10px] &= \int_0^1 x^2 \cdot \dfrac{1}{B(a,b)} x^{a – 1} (1 – x)^{b – 1} \\[10px] &= \int_0^1 \dfrac{1}{B(a,b)} x^{a + 1} (1 – x)^{b – 1} dx \\[10px] &= \int_0^1 \dfrac{1}{(\frac{a+b}{a})(\frac{a+b+1}{a+1})B(a+2, b)} x^{a + 1} (1 – x)^{b – 1} dx \\ &{\scriptsize (B(\bullet+1, \circ) = \frac{\bullet}{\bullet+\circ}B(\bullet,\circ)、を2回用いた)} \\[10px] &= \dfrac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)} \cdot \int_0^1 \dfrac{1}{B(a+2, b)} x^{(a+2)-1} (1 – x)^{b – 1} dx \\[10px] &= \dfrac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)} \\ &{\scriptsize (\int内は\Be(a+2, b)の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)} \end{aligned}$$
よって、
$$\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] – (E[X])^2 \\[10px] &= \dfrac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)} – (\dfrac{a}{a+b})^2 \\[10px] &= \dfrac{ab}{(a + b)^2 (a + b + 1)} \end{aligned}$$
