$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
（再掲）
$X \sim \Exp(\lambda)$である時、その確率密度関数$f(x)$は、
$$\begin{aligned} f(x) = \lambda e^{- \lambda x} ~~ (x \gt 0) \end{aligned}$$であり、その特性値は、
$$\begin{aligned} &{\small ①平均：}E[X] = \dfrac{1}{\lambda} \\ &{\small ②分散：}V[X] = \dfrac{1}{\lambda^2} \\ &{\small ③積率母関数：}M^X(\theta) = \dfrac{\lambda}{\lambda – \theta} ~~ {\small (ただし\lambda – \theta \gt 0)} \end{aligned}$$となる。
（①平均$E[X]$の証明）
$$\begin{aligned} E[X] &= \int_{0}^{\infty} x f(x) dx \\[10px] &= \int_{0}^{\infty} x \cdot \lambda e^{- \lambda x} dx \\[10px] &= \lambda \int_{0}^{\infty} x \cdot e^{- \lambda x} dx \\[10px] &= \lambda \left\{ \left[x \cdot (\dfrac{1}{(-\lambda)} e^{- \lambda x}) \right]_{0}^{\infty} – \int_0^{\infty} \dfrac{1}{(-\lambda)}e^{-\lambda x} dx \right\} \\[10px] &= \int_0^{\infty} e^{- \lambda x} dx \\[10px] &= \left[ \dfrac{1}{(- \lambda)} e^{- \lambda x} \right]_0^{\infty} \\[10px] &= \dfrac{1}{\lambda} \end{aligned}$$
（②分散$V[X]$の証明）
$V[X]$を求めるにあたり、まず$E[X^2]$を求める。
$$\begin{aligned} E[X^2] &= \int_0^{\infty} x^2 f(x) dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} x^2 \cdot \lambda e^{- \lambda x} dx \\[10px] &= \lambda \int_0^{\infty} x^2 \cdot e^{- \lambda x} dx \\[10px] &= \lambda \left\{ \left[ x^2 \cdot (\dfrac{1}{(- \lambda)}e^{- \lambda x}) \right]_0^{\infty} – \int_0^{\infty} 2x \cdot (\dfrac{1}{(- \lambda)} e^{- \lambda x})dx \right\} \\[10px] &= 2 \cdot \int_0^{\infty} x e^{- \lambda x} dx \\[10px] &= \dfrac{2}{\lambda^2} \\ &{\scriptsize (①の証明途中で、\int_0^{\infty} x e^{- \lambda x} dx = \dfrac{1}{\lambda^2}、と求めた)} \end{aligned}$$となる。
よって、
$$\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] – (E[X])^2 \\[10px] &= \dfrac{2}{\lambda^2} – (\dfrac{1}{\lambda})^2 \\[10px] &= \dfrac{1}{\lambda^2} \end{aligned}$$
（③積率母関数$M^X(\theta)$の証明）
$$\begin{aligned} M^X(\theta) &= E[e^{\theta X}] \\[10px] &= \int_0^{\infty} e^{\theta x} \cdot f(x) dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} e^{\theta x} \cdot \lambda e^{- \lambda x} dx \\[10px] &= \lambda \int_0^{\infty} e^{(\theta – \lambda)x} dx \\[10px] &= \lambda \cdot \left[ \dfrac{1}{(\theta – \lambda) } e^{(\theta – \lambda)x } \right]_0^{\infty} \\[10px] &= \dfrac{\lambda}{\lambda – \theta} \end{aligned}$$
