補足. 連続分布_ガンマ分布

 \gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}

（再掲）
X∼Ga(a,b)X \sim \Ga(a, b)である時、その確率密度関数f(x)f(x)は、
f(x)=1Γ(a)baxa−1e−xb  (x>0)\begin{aligned} f(x) = \dfrac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-\frac{x}{b}} ~~ (x \gt 0) \end{aligned}であり、その特性値は、
①平均：E[X]=ab②分散：V[X]=ab2③積率母関数：MX(θ)=(1–bθ)−a  (ただし1−bθ>0)\begin{aligned} &{\small ①平均：}E[X] = ab \\ &{\small ②分散：}V[X] = ab^2 \\ &{\small ③積率母関数：}M^X(\theta) = (1 – b\theta)^{-a} ~~ {\small (ただし1-b\theta \gt 0)} \end{aligned}となる。

（①平均E[X]E[X]の証明）
E[X]=∫0∞xf(x)dx=∫0∞x⋅1Γ(a)baxa−1e−xbdx=∫0∞11aΓ(a+1)⋅1bbax(a+1)–1e−xbdx(Γ(∙+1)=∙Γ(∙))=ab⋅∫0∞1Γ(a+1)ba+1x(a+1)–1e−xbdx=ab(∫内はGa(a+1,b)の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)\begin{aligned} E[X] &= \int_0^{\infty} x f(x) dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} x \cdot \dfrac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{ \frac{1}{a} \Gamma(a+1) \cdot \frac{1}{b} b^a} x^{(a + 1) – 1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\ &{\scriptsize (\Gamma(\bullet+1) = \bullet \Gamma(\bullet))} \\[10px] &= ab \cdot \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(a + 1) b^{a+1}} x^{(a + 1) – 1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= ab \\ &{\scriptsize (\int内は\Ga(a+1, b)の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)} \end{aligned}

（②分散V[X]V[X]の証明）

V[X]V[X]を求めるにあたり、まずE[X2]E[X^2]を求める。

E[X2]=∫0∞x2f(x)dx=∫0∞x2⋅1Γ(a)baxa−1e−xbdx=∫0∞11a(a+1)Γ(a+2)⋅1b2ba+2x(a+2)–1e−xbdx=a(a+1)b2⋅∫0∞1Γ(a+2)ba+2x(a+2)–1e−xbdx=a(a+1)b2(∫内はGa(a+2,b)の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)\begin{aligned} E[X^2] &= \int_0^{\infty} x^2 f(x) dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} x^2 \cdot \dfrac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\frac{1}{a(a+1)} \Gamma(a+2) \cdot \frac{1}{b^2} b^{a+2}} x^{(a + 2) – 1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= a (a + 1) b^2 \cdot \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(a+2) b^{a+2}} x^{(a + 2) – 1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= a(a+1)b^2 \\ &{\scriptsize (\int内は\Ga(a+2, b)の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)} \end{aligned}

よって、
V[X]=E[X2]–(E[X])2=a(a+1)b2–(ab)2=ab2\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] – (E[X])^2 \\[10px] &= a(a+1)b^2 – (ab)^2 \\[10px] &= ab^2 \end{aligned}

（③積率母関数MX(θ)M^X(\theta)の証明）

MX(θ)=E[eθX]=∫0∞eθxf(x)dx=∫0∞eθx⋅1Γ(a)baxa−1e−xbdx=∫0∞1Γ(a)baxa−1e−(1–bθb)xdx=∫0∞1Γ(a) ⋅(1–bθ)a(b1–bθ)axa−1e−(1–bθb)xdx=(1–bθ)−a⋅∫0∞1Γ(a) ⋅(b1–bθ)axa−1e−(1–bθb)xdx=(1–bθ)−a(∫内はGa(a,b1–bθ)の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)\begin{aligned} M^X(\theta) &= E[e^{\theta X}] \\[10px] &= \int_0^{\infty} e^{\theta x} f(x) dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} e^{\theta x} \cdot \dfrac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-\frac{x}{b}} dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-(\frac{1 – b\theta}{b})x} dx \\[10px] &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(a) \cdot (1 – b\theta)^a (\frac{b}{1 – b\theta})^a} x^{a-1} e^{-(\frac{1 – b\theta}{b})x} dx \\[10px] &= (1 – b\theta)^{-a} \cdot \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(a) \cdot (\frac{b}{1 – b\theta})^a} x^{a-1} e^{-(\frac{1 – b\theta}{b})x} dx \\[10px] &= (1 – b\theta)^{-a} \\ &{\scriptsize (\int内は\Ga(a, \frac{b}{1 – b\theta})の確率密度関数の形なので全区間で積分すると1)} \end{aligned}