$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$
（再掲）
$X \sim \HG (N, M, n)$である時、その確率関数$p(x)$は、
$$\begin{aligned} p(x) (= Pr\{ X=x \}) = \frac{\displaystyle \binom{M}{x} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{ \displaystyle \binom{N}{n}} \\\\ ({\small ただし}\max\{ 0, n-(N-M) \} \leqq x \leqq \min\{n, M\}) \end{aligned}$$であり、その特性値は、
$$\begin{aligned} &{\small ①平均：}E[X] = n(\frac{M}{N}) \\ &{\small ②分散：}V[X] = n(\frac{M}{N})(1 – \frac{M}{N}) \cdot \frac{N-n}{N-1} \\ &{\small ③確率母関数}G^X(s) {\small はきれいな形で書くことができないので、ここでは省きます} \end{aligned}$$となる。
以下$\binom{0}{0}=1, \binom{\bullet}{0} = 1$として計算しています。
（①平均$E[X]$の証明）
まず$M=0$の時は明らかに$E[X]=0$である。
また$M \geqq 1$の時は、
$$\begin{aligned} E[X] &= \sum_{x=max\{ 0, n – (N-M) \}}^{min \{ n, M \}} x p(x) \\[30px] &= \sum_{x=max\{ 1, n – (N-M) \}}^{min \{ n, M \}} x \cdot \frac{ \binom{M}{x} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{ \binom{N}{n}} \\[30px] &= \sum_{x=max\{ 1, n – (N-M) \}}^{min \{ n, M \}} x \cdot \dfrac{\frac{M!}{x! (M-x)!} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\frac{N!}{n!(N-n)!}} \\[30px] &= \sum_{x=max\{ 1, n – (N-M) \}}^{min \{ n, M \}} \dfrac{M \cdot \frac{(M-1)!}{(x-1)!\{ (M-1) – (x-1) \}!} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\frac{N}{n} \cdot \frac{(N-1)!}{(n-1)! \{ (N-1) – (n-1) \}!}} \\[30px] &= \sum_{y=max\{ 0, n-(N-M)-1 \}}^{min\{ n-1,M-1 \}} \dfrac{M \cdot \binom{M-1}{y} \cdot \binom{N-M}{n-(y+1)}}{\frac{N}{n} \cdot \binom{N-1}{n-1}} \\[30px] &= n(\dfrac{M}{N}) \cdot \sum_{y=max\{ 0, n-(N-M)-1 \}}^{min\{ n-1,M-1 \}} \dfrac{\binom{M-1}{y} \cdot \binom{N-M}{n-(y+1)}}{\binom{N-1}{n-1}} \\[30px] &= n(\dfrac{M}{N}) \cdot \sum_{y=max\{ 0, (n-1)-\{ (N-1) – (M-1) \} \}}^{min\{ n-1,M-1 \}} \dfrac{\binom{M-1}{y} \cdot \binom{(N-1) – (M-1)}{(n-1)-y}}{\binom{N-1}{n-1}} \\[30px] &= n(\dfrac{M}{N}) \\ &{\scriptsize (\sum内は\HG(N-1,M-1,n-1)の確率関数の形なので全区間で和をとると1)} \end{aligned}$$
（②分散$V[X]$の証明）
$V[X]$を求めるにあたり、まず$E[X(X-1)]$を求める。
まず$(M \leqq 1{\small または}n \leqq 1)$の時は、
$$\begin{aligned} E[X(X-1)] &= \sum_{x=max\{ 0, n-(N-M) \}}^{min\{ n,M \}} x(x-1) p(x) \\[30px] &= 0 \\ &{\scriptsize (\sumの中身は} \\ &{\scriptsize min\{ n,M \}=0の時、0(0-1)p(0)=0} \\ &{\scriptsize min\{ n,M \}=1の時、0(0-1)p(0) + 1(1-1)p(1)=0)} \end{aligned}$$
また$(M \geqq 2{\small かつ}n \geqq 2)$の時は、
$$\begin{aligned} E[X(X-1)] &= \sum_{x=max\{ 0, n-(N-M) \}}^{min\{ n,M \}} x(x-1) p(x) \\[30px] &= \sum_{x=max\{ 2, n-(N-M) \}}^{min\{ n,M \}} x(x-1) p(x) \\[30px] &= \sum_{x=max\{ 2, n-(N-M) \}}^{min\{ n,M \}} x(x-1) \cdot \dfrac{\binom{M}{x} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}} \\[30px] &= \sum_{x=max\{ 2, n-(N-M) \}}^{min\{ n,M \}} x(x-1) \cdot \dfrac{\frac{M!}{x!(M-x)!} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\frac{N!}{n!(N-n)!}} \\[30px] &= \sum_{x=max\{ 2, n-(N-M) \}}^{min\{ n,M \}} \dfrac{ M(M-1) \cdot \frac{(M-2)!}{(x-2)! \{ (M-2) – (x-2) \}!} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\frac{N(N-1)}{n(n-1)} \cdot \frac{(N-2)!}{(n-2)! \{ (N-2) – (n-2) \}!}} \\[30px] &= n(n-1) \cdot \dfrac{M(M-1)}{N(N-1)} \cdot \sum_{y=max\{ 0, n-(N-M) -2 \}}^{min\{ n-2,M-2 \}} \dfrac{\binom{M-2}{y} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N-2}{n-2}} \\[30px] &= n(n-1) \cdot \dfrac{M(M-1)}{N(N-1)} \cdot \sum_{y=max\{ 0, (n-2)-\{ (N-2) – (M-2) \} \}}^{min \{ n-2, M-2 \}} \dfrac{\binom{M-2}{y} \cdot \binom{(N-2)-(M-2)}{(n-2)-y}}{\binom{N-2}{n-2}} \\[30px] &= n(n-1) \cdot \dfrac{M(M-1)}{N(N-1)} \\ &{\scriptsize (\sum内は\HG(N-2,M-2,n-2)の確率関数の形なので全区間で和をとると1)} \end{aligned}$$となり、$(M \leqq 1{\small または}n \leqq 1)$の場合は$(M \geqq 2{\small かつ}n \geqq 2)$の結果に含めて考えることができる。
よって、
$$\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] – (E[X])^2 \\[5px] &= \{ E[X(X-1)] + E[X] \} – (E[X])^2 \\[5px] &= n(n-1) \cdot \dfrac{M(M-1)}{N(N-1)} + n(\dfrac{M}{N}) – \{ n(\dfrac{M}{N}) \}^2 \\[5px] &= n(\frac{M}{N})(1 – \frac{M}{N}) \cdot \frac{N-n}{N-1} \end{aligned}$$
