ポアソン分布と指数分布

$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$

*：正確には、その様にモデリングされることが多いということです。

1. ポアソン分布と指数分布は表裏の関係

（ランダムに発生する）イベントの発生について、

となります。
（$\Po(\lambda)$に従う確率変数の平均は$\lambda$、$\Exp(\lambda)$に従う確率変数の平均は$\frac{1}{\lambda}$でした）

つまり、視点を変えているだけで考えている内容は同じです。

2. ポアソン分布から指数分布の導出

確率変数$X_t, T$を以下の様に定めます。

・$X_t$：（ランダムに発生する）イベントが$(0,t]$に発生する回数
・$T$：（ランダムに発生する）イベントが$1$回発生するまでの時間

この時$X_t \sim \Po(\lambda t)$と仮定すると、$X_t$の確率関数$p_t(x)$は、 $$\begin{aligned} p_t(x) = \dfrac{e^{- \lambda t} (\lambda t)^x}{x!} \end{aligned}$$です。


以下$T$の確率密度関数$g(t)$を導出します。
（導出された$g(t)$が指数分布の確率密度関数の形に一致すれば良いわけです）


イベントがある時間区間$(0, t]$において$x$回発生する確率は$p_t(x)$に他ならず、 $$\begin{aligned} \dfrac{e^{- \lambda t } (\lambda t)^x}{x!} ~~~~~ \mathrm{(A)} \end{aligned}$$となり、イベントがある時間区間$(0, t]$において少なくとも$1$回発生する確率$Pr\{ T \leqq t \}$は、
$$\begin{aligned} Pr \{ T \leqq t \} &= 1 – Pr\{ T \gt t \} \\[5px] &= 1 – ((A){\small に}x=0{\small を代入した値}) \\[5px] &= 1-e^{- \lambda t} \end{aligned}$$となります。


$Pr \{ T \leqq t \}$は$T$の分布関数に相当するので、
$$\begin{aligned} g(t) &= \dfrac{\partial}{\partial t} Pr \{ T \leqq t \} \\[5px] &= \lambda e^{- \lambda t} \end{aligned}$$となり、導出された$g(t)$が指数分布の確率密度関数の形に一致しました。

3. 指数分布からポアソン分布の導出

確率変数$T_i ~ {\small (i=1,2,\ldots)}, X$を以下の様に定めます。

・$T_i$：（ランダムに発生する）イベントについて、$(i-1)$回目から$i$回目までの時間
（ただし、$0$回目はカウント開始時点）
・$X$：（ランダムに発生する）イベントが$(0,1]$に発生する回数

この時$T_i \overset{i.i.d}\sim \Exp(\lambda) ~{\small (i=1, \ldots, x)}$と仮定し、以下$X$の確率関数$p(x)$を導出します。
（導出された$p(x)$がポアソン分布の確率関数の形に一致すれば良いわけです）


$Y = T_1 + \cdots + T_x$とおくと、$Y$は『イベントが$x$回発生するまでの時間』を表しており、

• $\Exp(\lambda) = \Ga(1, \frac{1}{\lambda})$
  
  
• $X_1 (\sim \Ga(a_1,b)), ~X_2 (\sim \Ga(a_2, b))$が互いに独立である時、$(X_1+X_2) \sim \Ga(a_1+a_2, b)$
  （参照：＜連続分布＞：「11. ガンマ分布」）

を考慮すると、
$$\begin{aligned} Y \sim \Ga(x, \frac{1}{\lambda}) \end{aligned}$$となります。


これと、事象$\{ Y \gt 1 \}$が事象$\{ X \leqq x-1 \}$（『イベントが単位時間あたり$x$回未満（$(x-1)$回以下）発生する』）と一致することから、
$$\begin{aligned} Pr\{ X \leqq x-1 \} &= Pr\{ Y \gt 1 \} \\[10px] &= \int_1^{\infty} (\Ga(x, \frac{1}{\lambda}){\small の確率密度関数}) dy \\[10px] &= \int_1^{\infty} \dfrac{\lambda^x}{\Gamma(x)} y^{x-1}e^{-\lambda y} dy \\[10px] &= \int_1^{\infty} \dfrac{\lambda^{x-1}}{\Gamma(x)} y^{x-1} (- e^{-\lambda y})^{\prime} dy \\[10px] &= \left[ \dfrac{\lambda^{x-1}}{\Gamma(x)} y^{x-1} (- e^{-\lambda y}) \right]_1^{\infty} – \int_1^{\infty} \dfrac{\lambda^{x-1}}{\Gamma(x)} (x-1) y^{x-2} (- e^{-\lambda y}) dy \\[10px] &= \dfrac{\lambda^{x-1}}{\Gamma(x)} e^{-\lambda} + \int_1^{\infty} \dfrac{\lambda^{x-1}}{\Gamma(x-1)} y^{x-2}e^{-\lambda y} dy \\ &{\scriptsize (\Gamma(x)=(x-1)!、より、\dfrac{1}{\Gamma(x)}(x-1) = \dfrac{1}{\Gamma(x-1)})} \\[10px] &= \cdots \\[10px] &= \sum_{k=1}^x \dfrac{\lambda^{k-1}}{\Gamma(k)} e^{- \lambda} \\[10px] &= \sum_{k=1}^x \dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} e^{- \lambda} \\ &{\scriptsize (\Gamma(x) = (x-1)!)} \\[10px] &= \sum_{k=0}^{x-1} \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \end{aligned}$$となります。


これより、$X$の分布関数に相当する$Pr\{ X \leqq x \}$は、
$$\begin{aligned} Pr\{ X \leqq x \} = \sum_{k=0}^{x} \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \end{aligned}$$となり、これはポアソン分布の分布関数の形に一致します。
よって、$p(x)$はポアソン分布の確率関数の形に一致します。