正規分布の検定・区間推定

$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$

0. 導入

正規分布$\N(\mu, \sigma^2)$には$\mu, \sigma^2$の$2$つの分布パラメータがあり、これらが検定・区間推定の対象となります。


まず$\mu$の検定については、

• $1$標本か、$2$標本か？
• $\sigma^2$がknownか、unknownか？

によって$2 \times 2=4$通りが考えられます。




そして$\sigma^2$の検定については、

• $1$標本か、$2$標本か？

によって$2$通りが考えられます。

1. 平均$\mu$(1標本、$\sigma^2$known)

$X_i \overset{i.i.d}\sim \N(\mu, \sigma^2) ~~ {\small (i=1, \ldots, n)}$である時、

• 帰無仮説$H_0: \mu = \mu_0$
• 対立仮説$H_1: \mu \neq \mu_0$

という有意水準$\alpha$の両側検定を考えます。




この時、
$$\begin{aligned} {\small 検定統計量} Z = \frac{\bar{X}_n-\mu_0}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim \N(0, 1) ~~ under H_0 \end{aligned}$$であるため（参照：＜基本的な統計量が従う分布＞：1）、

●$|Z| = \left|\dfrac{\bar{X}_n-\mu_0}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}\right| \leqq z_{\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow {\small H_0を選択}$
●$|Z| = \left|\dfrac{\bar{X}_n-\mu_0}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}\right| \gt z_{\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow {\small H_1を選択}$

という判定がなされます。
（ただし$z_{\frac{\alpha}{2}}$を標準正規分布の上側$\frac{\alpha}{2}$点とする）




また$\mu$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、
$$\begin{aligned} \bar{X}_n-\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot z_{\frac{\alpha}{2}} \leqq \mu \leqq \bar{X}_n+\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot z_{\frac{\alpha}{2}} \end{aligned}$$となります。

2. 平均$\mu$(1標本、$\sigma^2$unknown)

$X_i \overset{i.i.d}\sim \N(\mu, \sigma^2) ~~ {\small (i=1, \ldots, n)}$である時、

• 帰無仮説$H_0: \mu = \mu_0$
• 対立仮説$H_1: \mu \neq \mu_0$

という有意水準$\alpha$の両側検定を考えます。




この時、
$$\begin{aligned} {\small 検定統計量} T = \frac{\bar{X}_n-\mu_0}{\dfrac{s}{\sqrt{n}}} \sim \t(n-1) ~~ under H_0 \end{aligned}$$
（ただし、$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar{X}_n)^2$）
であるため（参照：＜基本的な統計量が従う分布＞：3）、

●$|T| = \left| \dfrac{\bar{X}_n-\mu_0}{\dfrac{s}{\sqrt{n}}} \right| \leqq t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \Rightarrow {\small H_0を選択}$
●$|T| = \left| \dfrac{\bar{X}_n-\mu_0}{\dfrac{s}{\sqrt{n}}} \right| \gt t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \Rightarrow {\small H_1を選択}$

という判定がなされます。
（ただし$t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$を$t(n-1)$の上側$\frac{\alpha}{2}$点とする）




また$\mu$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、
$$\begin{aligned} \bar{X}_n-\frac{s}{\sqrt{n}} \cdot t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \leqq \mu \leqq \bar{X}_n+\frac{s}{\sqrt{n}} \cdot t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \end{aligned}$$となります。

3. 平均$\mu$(2標本、$\sigma^2$known)

$X_i \overset{i.i.d}\sim \N(\mu_X, \sigma_X^2) ~~ {\small (i=1, \ldots, n_X)}, Y_j \overset{i.i.d}\sim \N(\mu_Y, \sigma_Y^2) ~~ {\small (j=1, \ldots, n_Y)},$ $X_i$と$Y_j$は独立 である時、$\delta = \mu_X-\mu_Y$について、

• 帰無仮説$H_0: \delta = \delta_0$
• 対立仮説$H_1: \delta \neq \delta_0$

という有意水準$\alpha$の両側検定を考えます。




この時、
$$\begin{aligned} {\small 検定統計量} Z = \frac{(\bar{X}_{n_X}-\bar{Y}_{n_Y})-\delta_0} {\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y}}} \sim \N(0, 1) ~~ under H_0 \end{aligned}$$であるため*、

●$|Z| = \left| \dfrac{(\bar{X}_{n_X}-\bar{Y}_{n_Y})-\delta_0} {\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y}}} \right| \leqq z_{\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow {\small H_0を選択}$
●$|Z| = \left| \dfrac{(\bar{X}_{n_X}-\bar{Y}_{n_Y})-\delta_0} {\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y}}} \right| \gt z_{\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow {\small H_1を選択}$

という判定がなされます。
（ただし$z_{\frac{\alpha}{2}}$を標準正規分布の上側$\frac{\alpha}{2}$点とする）




また$\delta$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、
$$\begin{aligned} (\bar{X}_{n_X}-\bar{Y}_{n_Y})-\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y}} \cdot z_{\frac{\alpha}{2}} \leqq \delta \leqq (\bar{X}_{n_X}-\bar{Y}_{n_Y})+\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y}} \cdot z_{\frac{\alpha}{2}} \end{aligned}$$となります。

4. 平均$\mu$(2標本、$\sigma^2$unknown)

$X_i \overset{i.i.d}\sim \N(\mu_X, \sigma_X^2) ~~ {\small (i=1, \ldots, n_X)}, Y_j \overset{i.i.d}\sim \N(\mu_Y, \sigma_Y^2) ~~ {\small (j=1, \ldots, n_Y)},$ $X_i$と$Y_j$は独立である時、
$\delta = \mu_X-\mu_Y$について、

• 帰無仮説$H_0: \delta = \delta_0$
• 対立仮説$H_1: \delta \neq \delta_0$

という有意水準$\alpha$の両側検定を考えます。




$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 (=\sigma^2)$という等分散の仮定がおける時、
$$\begin{aligned} {\small 検定統計量} T = \frac{(\bar{X}_{n_X}-\bar{Y}_{n_Y})-\delta_0} {\sqrt{\frac{s^2}{n_X} + \frac{s^2}{n_Y}}} \sim \t((n_X-1)+(n_Y-1)) ~~ under H_0 \end{aligned}$$
（ただし、$s^2 = \frac{(n_X-1)s_X^2+(n_Y-1)s_Y^2}{(n_X-1)+(n_Y-1)} (=\frac{\sum_{i=1}^{n_X}(X_i-\bar{X}_{n_X})^2 + \sum_{j=1}^{n_Y}(Y_j-\bar{Y}_{n_Y})^2}{(n_X-1)+(n_Y-1)})$）
であるため*、

●$|T| = \left| \dfrac{(\bar{X}_{n_X}-\bar{Y}_{n_Y})-\delta_0} {\sqrt{\frac{s^2}{n_X} + \frac{s^2}{n_Y}}} \right| \leqq \t_{\frac{\alpha}{2}}((n_X-1)+(n_Y-1)) \Rightarrow {\small H_0を選択}$
●$|T| = \left| \dfrac{(\bar{X}_{n_X}-\bar{Y}_{n_Y})-\delta_0} {\sqrt{\frac{s^2}{n_X} + \frac{s^2}{n_Y}}} \right| \gt \t_{\frac{\alpha}{2}}((n_X-1)+(n_Y-1)) \Rightarrow {\small H_1を選択}$

という判定がなされます。
（ただし$\t_{\frac{\alpha}{2}}((n_X-1)+(n_Y-1))$を$\t((n_X-1)+(n_Y-1))$の上側$\frac{\alpha}{2}$点とする）




また$\delta$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、
$$\begin{aligned} (\bar{X}_{n_X}-\bar{Y}_{n_Y})-\sqrt{\frac{s^2}{n_X} + \frac{s^2}{n_Y}} \cdot \t_{\frac{\alpha}{2}}((n_X-1)+(n_Y-1)) \leqq \delta \leqq (\bar{X}_{n_X}-\bar{Y}_{n_Y})+\sqrt{\frac{s^2}{n_X} + \frac{s^2}{n_Y}} \cdot \t_{\frac{\alpha}{2}}((n_X-1)+(n_Y-1)) \end{aligned}$$となります。

5. 分散$\sigma^2$(1標本)

$X_i \overset{i.i.d}\sim \N(\mu, \sigma^2) ~~ {\small (i=1, \ldots, n)}$である時、

• 帰無仮説$H_0: \sigma = \sigma_0$
• 対立仮説$H_1: \sigma \neq \sigma_0$

という有意水準$\alpha$の両側検定を考えます。




この時、
$$\begin{aligned} {\small 検定統計量} V = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} (=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2}{\sigma_0^2}) \sim \chi^2(n-1) ~~ under H_0 \end{aligned}$$
（ただし、$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar{X}_n)^2$）
であるため（参照：＜基本的な統計量が従う分布＞：2）、

●$\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1) \leqq V \leqq \chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \Rightarrow {\small H_0を選択}$
●$V \lt \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1), ~ or ~ , \chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \lt V \Rightarrow {\small H_1を選択}$

という判定がなされます*。
（ただし$\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1), \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$を$\chi^2(n-1)$の上側$\frac{\alpha}{2}, 1-\frac{\alpha}{2}$点とする）




また$\sigma$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、
$$\begin{aligned} \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \leqq \sigma \leqq \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \end{aligned}$$となります。

6. 分散$\sigma^2$(2標本）

$X_i \overset{i.i.d}\sim \N(\mu_X, \sigma_X^2) ~~ {\small (i=1, \ldots, n_X)}, Y_j \overset{i.i.d}\sim \N(\mu_Y, \sigma_Y^2) ~~ {\small (j=1, \ldots, n_Y)},$ $X_i$と$Y_j$は独立である時、

• 帰無仮説$H_0: \sigma_X^2 = \sigma_Y^2$
• 対立仮説$H_1: \sigma_X^2 \neq \sigma_Y^2$

という有意水準$\alpha$の両側検定を考えます。




この時、
$$\begin{aligned} {\small 検定統計量} F = \frac{\frac{s_X^2}{\sigma_X^2}}{\frac{s_Y^2}{\sigma_Y^2}} \sim \F(n_X-1, n_Y-1) ~~ under H_0 \end{aligned}$$
（ただし、$s_X^2 = \frac{1}{n_X-1} \sum_{i=1}^{n_X} (X_i-\bar{X}_{n_X})^2, s_Y^2 = \frac{1}{n_Y-1} \sum_{j=1}^{n_Y} (Y_j-\bar{Y}_{n_Y})^2$）
であるため（参照：＜基本的な統計量が従う分布＞：4）、

●$\F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_X-1, n_Y-1) \leqq V \leqq \F_{\frac{\alpha}{2}}(n_X-1, n_Y-1) \Rightarrow {\small H_0を選択}$
●$F \lt \F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_X-1, n_Y-1), or, \F_{\frac{\alpha}{2}}(n_X-1, n_Y-1) \lt F \Rightarrow {\small H_1を選択}$

という判定がなされます*。
（ただし$\F_{\frac{\alpha}{2}}(n_X-1, n_Y-1), \F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_X-1, n_Y-1)$を$\F(n_X-1, n_Y-1)$の上側$\frac{\alpha}{2}, 1-\frac{\alpha}{2}$点とする）




また$\frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、
$$\begin{aligned} \frac{1}{\F_{\frac{\alpha}{2}}(n_X-1, n_Y-1)} (\frac{s_X^2}{s_Y^2}) \leqq \frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2} \leqq \frac{1}{\F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_X-1, n_Y-1)} (\frac{s_X^2}{s_Y^2}) \end{aligned}$$となります。