二項分布の検定・区間推定

$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}}$

0. 導入

二項分布$\Bin(n,p)$には$n, p$の$2$つの分布パラメータがありますが、通常”$n$”は与えられるため、”$p$”のみが検定・区間推定の対象となります。


以下は『正確に扱う場合（正規近似なし）』と『近似的に扱う場合（正規近似あり）』とにわけて紹介をします。

1. 正確に扱う場合（正規近似なし）

$X \sim \Bin(n,p)$である時、

• 帰無仮説$H_0: p \leqq p_0$
• 対立仮説$H_1: p \gt p_0$

というという有意水準$\alpha$の片側検定を考えます*1。




この時、ある$r ~ {\small (1 \leqq r \leqq n)}$に対して、
$$\begin{aligned} \sum_{i=r}^{n} \binom{n}{i} p_0^{i} (n-p_0)^{n-i} \leqq \alpha \\ \sum_{i=r-1}^{n} \binom{n}{i} p_0^{i} (n-p_0)^{n-i} \gt \alpha \end{aligned}$$とすると*2、検定統計量を$X$そのものとして、

●$X \lt r \Rightarrow {\small H_0を選択}$
●$X \geqq r \Rightarrow {\small H_1を選択}$

という判定がなされます。




また$p$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、
$$\begin{aligned} X \lt r(p) \end{aligned}$$
（$r$は$p$の関数でありそれを明示的に示すために”$r(p)$”と書きました）
を$p$について解けば求められますが、これを綺麗な形で表すのは困難です。

2. 近似的に扱う場合（正規近似あり）

$X \sim \Bin(n,p)$である時、

• 帰無仮説$H_0: p = p_0$
• 対立仮説$H_1: p \neq p_0$

というという有意水準$\alpha$の両側検定を考えます。




$n$が十分大きい時、正規近似より、
$$\begin{aligned} X \sim \N(np, np(1-p)) \end{aligned}$$とみなせます。
（参照：＜二項分布・ポアソン分布の正規近似＞）

よって、
$$\begin{aligned} {\small 検定統計量} Z = \frac{X-np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}} \sim \N(0,1) ~~ under H_0 \end{aligned}$$であるため、

●$|Z| = \left|\dfrac{X-np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}\right| \leqq Z_{\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow {\small H_0を選択}$
●$|Z| = \left|\dfrac{X-np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}\right| \gt Z_{\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow {\small H_1を選択}$

という判定がなされます。
（ただし$z_{\frac{\alpha}{2}}$を標準正規分布の上側$\frac{\alpha}{2}$点とする）




また$p$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、
$$\begin{aligned} \left| \dfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right| \leqq Z_{\frac{\alpha}{2}} \end{aligned}$$を$p$について解いたものになります。




これは$p$についての$2$次不等式となりますが、やや計算が大変なので、分母の”$p$”を$\hat{p}(=\frac{X}{n})$に近似して、
$$\begin{aligned} \left| \dfrac{X-np}{\sqrt{n\hat{p}(1-\hat{p})}} \right| &\leqq Z_{\frac{\alpha}{2}} \\[20px] \Rightarrow \dfrac{X}{n}-Z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} &\leqq p \leqq \dfrac{X}{n}+Z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \end{aligned}$$を信頼区間としてしまうことが多いです。