フィッシャーの正確検定

$\gdef \vec#1{\boldsymbol{#1}} \\ \gdef \rank {\mathrm{rank}} \\ \gdef \det {\mathrm{det}} \\ \gdef \Bern {\mathrm{Bern}} \\ \gdef \Bin {\mathrm{Bin}} \\ \gdef \Mn {\mathrm{Mn}} \\ \gdef \Cov {\mathrm{Cov}} \\ \gdef \Po {\mathrm{Po}} \\ \gdef \HG {\mathrm{HG}} \\ \gdef \Geo {\mathrm{Geo}}\\ \gdef \N {\mathrm{N}} \\ \gdef \LN {\mathrm{LN}} \\ \gdef \U {\mathrm{U}} \\ \gdef \t {\mathrm{t}} \\ \gdef \F {\mathrm{F}} \\ \gdef \Exp {\mathrm{Exp}} \\ \gdef \Ga {\mathrm{Ga}} \\ \gdef \Be {\mathrm{Be}} \\ \gdef \NB {\mathrm{NB}} \\ \gdef \indep {\mathop{\perp\!\!\!\!\perp}} \\ \gdef \tr {\mathrm{tr}}$

0. 前提

フィッシャーの正確検定では2つのカテゴリーをもつ変数$A,B$の独立性を調べるための検定であり、相手にするのは以下の様な2×2分割表となります。

	$B_1$	$B_2$	合計
$A_1$	$X_{11}$	$X_{12}$	$x_{1 \bullet}$
$A_2$	$X_{21}$	$X_{22}$	$x_{2 \bullet}$
合計	$x_{\bullet 1}$	$x_{\bullet 2}$	$x_{\bullet \bullet}$

関係性を調べるためにはサンプリングしてくる必要がありますが、サンプリングする際には＜分割表の統計モデル＞で紹介した通り、

①どこもfixされない場合
②総和がfixされる場合
③列和または行和がfixされる場合

の3通りの形式があります。


各場合における統計モデルの置き方は＜分割表の統計モデル＞で扱った通りですが、ここで復習しておきます。




⚫️①どこもfixされない場合

各セルの度数$X_{ij} ~~ \small{(i=1,2;j=1,2)}$はポアソン分布$\Po(\theta_{ij})$に従うというモデルを想定することができ、明示すると、
$$\begin{aligned} X_{11} &\sim \Po(\theta_{11}) \\ X_{12} &\sim \Po(\theta_{12}) \\ X_{21} &\sim \Po(\theta_{21}) \\ X_{22} &\sim \Po(\theta_{22}) \end{aligned}$$となります。


また同時確率関数$p(x)$は、
$$\begin{aligned} p(x) &= \prod_{i,j} e^{-\theta_{ij}} \frac{\theta_{ij}^{x_{ij}}}{x_{ij}!} \\ &= (e^{-\theta_{11}} \frac{\theta_{11}^{x_{11}}}{x_{11}!}) \cdot (e^{-\theta_{12}} \frac{\theta_{12}^{x_{12}}}{x_{12}!}) \cdot (e^{-\theta_{21}} \frac{\theta_{21}^{x_{21}}}{x_{21}!}) \cdot (e^{-\theta_{22}} \frac{\theta_{22}^{x_{22}}}{x_{22}!}) \end{aligned}$$となります。




⚫️②総和がfixされる場合

各セルの度数$X_{ij} ~~ \small{(i=1,2;j=1,2)}$は4項分布に従うというモデルを想定することができ、明示すると、
$$\begin{aligned} (X_{11},X_{12},X_{21},X_{22}) &\sim \Mn(x_{\bullet \bullet};p_{11},p_{12},p_{21},p_{22}) \\ (&= \Mn(x_{\bullet \bullet};p_{11},p_{12},p_{21},1-p_{11}-p_{12}-p_{21}) ) \end{aligned}$$となります。


また同時確率関数$p(x)$は、
$$\begin{aligned} p(x) &= \frac{x_{\bullet \bullet}!}{\prod_{i,j} x_{ij}!} \prod_{i,j} p_{ij}^{x_{ij}} \\ &= \frac{x_{\bullet \bullet}!}{x_{11}! x_{12}! x_{21}! x_{22}!} p_{11}^{x_{11}} p_{12}^{x_{12}} p_{21}^{x_{21}} p_{22}^{x_{22}} \\ &= \frac{x_{\bullet \bullet}!}{x_{11}! x_{12}! x_{21}! x_{22}!} p_{11}^{x_{11}} p_{12}^{x_{12}} p_{21}^{x_{21}} (1-p_{11}-p_{12}-p_{21})^{(x_{\bullet \bullet}-x_{11}-x_{12}-x_{21})} \end{aligned}$$となります。




⚫️③列和または行和がfixされる場合

（ここでは列和がfixされる場合を扱いますが、行和がfixされる場合も同様です）

列和がfixされる場合、各セルの度数$X_{ij} ~~ \small{(i=1,2;j=1,2)}$は$2$項分布$(\times 2)$に従うというモデルを想定することができ、明示すると、
$$\begin{aligned} X_{11} &\sim \Bin(x_{\bullet 1},p_{11}) \\ X_{12} &\sim \Bin(x_{\bullet 2},p_{12}) \\ (X_{21}&=x_{\bullet 1}-X_{11}) \\ (X_{22}&=x_{\bullet 2}-X_{12}) \end{aligned}$$


また同時確率関数$p(x)$は、
$$\begin{aligned} p(x) &= \prod_{j} \{ \frac{x_{\bullet j}!}{\prod_i x_{ij}!} \prod_i p_{ij}^{x_{ij}} \} \\ &= \prod_{j} \{ \frac{x_{\bullet j}!}{x_{1 j}! x_{2 j}!} p_{1 j}^{x_{1 j}} p_{2 j}^{x_{2 j}} \} \\ &= \{ \frac{x_{\bullet 1}!}{x_{1 1}! x_{2 1}!} p_{1 1}^{x_{1 1}} p_{2 1}^{x_{2 1}} \} \{ \frac{x_{\bullet 2}!}{x_{1 2}! x_{2 2}!} p_{1 2}^{x_{1 2}} p_{2 2}^{x_{2 2}} \} \\ &= \{ \frac{x_{\bullet 1}!}{x_{1 1}! x_{2 1}!} p_{1 1}^{x_{1 1}} (1-p_{1 1})^{(x_{\bullet 1}-x_{1 1})} \} \{ \frac{x_{\bullet 2}!}{x_{1 2}! x_{2 2}!} p_{1 2}^{x_{1 2}} (1-p_{1 2})^{(x_{\bullet 2}-x_{1 2})} \} \end{aligned}$$となります。




(注意)
②の場合には、
$$\begin{aligned} p_{11} + p_{12} + p_{21} + p_{22} = 1 \end{aligned}$$ですが、 ③の場合には、
$$\begin{aligned} p_{11} + p_{21} &= 1 \\ p_{12} + p_{22} &= 1 \end{aligned}$$となってるので注意してください。

1. フィッシャーの正確検定

上記の各場合における独立性の帰無仮説の置き方は＜分割表の統計モデル＞で扱った通りですが、実は全ての場合における帰無仮説は、分布パラメータのオッズ比$\psi$を、
$$\begin{aligned} \psi &= \frac{\frac{p_{11}}{p_{12}}}{\frac{p_{21}}{p_{22}}} \\ &= \frac{p_{11} p_{22}}{p_{12} p_{21}} \end{aligned}$$とおいた時、
$$\begin{aligned} \begin{cases} {\small 帰無仮説} H_0: \psi = 1 \end{cases} \end{aligned}$$という帰無仮説と同等となります。
（詳細は割愛します。なお②③の方が①よりも扱われる頻度が高いため、分布パラメータは$\theta_{ij}$ではなく$p_{ij}$を採用しました。）




対立仮説の置き方は、両側検定であれば、
$$\begin{aligned} \begin{cases} {\small 対立仮説} H_1: \psi \neq 1 \end{cases} \end{aligned}$$となり、片側検定であれば、
$$\begin{aligned} \begin{cases} {\small 対立仮説} H_1: \psi \gt 1 \end{cases} \end{aligned}$$となります。
（ただし、オリジナルのフィッシャーの正確検定では片側検定のみを想定していた様です）




フィッシャーの正確検定では帰無仮説$H_0$の下で、分割表の行和・列和をfixした下での条件付き分布に基づいて検定をします。

2. 具体的な検定方法

サンプリングの過程は『0. 前提』のいずれの場合でも構いません。


2×2分割表における各セルの値（確率変数）を$X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}$とします。

	$B_1$	$B_2$	合計
$A_1$	$X_{11}$	$X_{12}$	$x_{1 \bullet}$
$A_2$	$X_{21}$	$X_{22}$	$x_{2 \bullet}$
合計	$x_{\bullet 1}$	$x_{\bullet 2}$	$x_{\bullet \bullet}$

行和$x_{1 \bullet}, x_{2 \bullet}$、列和$x_{\bullet 1}, x_{\bullet 2}$をfixした上で$(X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}) = (x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22})$となる確率$Pr\{ (X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}) = (x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}) | X_{11}+X_{12} = x_{1 \bullet}, X_{21} + X_{22} = x_{2 \bullet}, X_{11} + X_{21} = x_{\bullet 1}, X_{12} + X_{22} = x_{\bullet 2} \}$（長いので以下、$Pr\{ (X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}) = (x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}) | x_{1 \bullet}, x_{2 \bullet}, x_{\bullet 1}, x_{\bullet 2} \}$と書きます）は、サンプリングの過程は『0. 前提』のいずれの場合でも、超幾何分布の確率関数の形になります。
（導出に興味がある方は＜補足. フィッシャーの正確検定_確率の導出＞を参照ください）

つまり、
$$\begin{aligned} Pr\{ (X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}) = (x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}) | x_{1 \bullet}, x_{2 \bullet}, x_{\bullet 1}, x_{\bullet 2} \} &= Pr\{ X_{11} = x_{11} | x_{1 \bullet}, x_{2 \bullet}, x_{\bullet 1}, x_{\bullet 2} \} \\ &{\scriptsize(X_{11}のみ決まれば残りは決まるため)} \\ &= \frac{ \displaystyle \binom{ x_{\bullet 1} }{ x_{11} } \displaystyle \binom{ x_{\bullet 2} }{ x_{12} } }{ \displaystyle \binom{ x_{\bullet \bullet} }{ x_{1 \bullet} } } (= \frac{ \displaystyle \binom{ x_{1 \bullet} }{ x_{11} } \displaystyle \binom{ x_{2 \bullet} }{ x_{21} } }{ \displaystyle \binom{ x_{\bullet \bullet} }{ x_{\bullet 1} } } ) \\ &= \frac{x_{\bullet 1}! x_{2 \bullet}! x_{1 \bullet}! x_{2 \bullet}! }{ x_{\bullet \bullet}! } \cdot \frac{1}{ x_{11}! x_{12}! x_{21}! x_{22}! } \end{aligned}$$
(ただし、$\max\{ 0, x_{\bullet 1}-(x_{\bullet \bullet}-x_{1 \bullet}) \} \leqq x_{11} \leqq \min\{x_{1 \bullet}, x_{\bullet 1} \}$)
となります。




p-valueとは、観測された事象よりも起こりにくい事象が帰無仮説$H_0$の下で起こる確率であることから、
$$\begin{aligned} \mathrm{p-value} &= Pr\{ X_{11} \geqq x_{11} | x_{1 \bullet}, x_{2 \bullet}, x_{\bullet 1}, x_{\bullet 2} \} \\ &= \sum_{k \geqq x_{11}} Pr\{ X_{11} = k | x_{1 \bullet}, x_{2 \bullet}, x_{\bullet 1}, x_{\bullet 2} \} \end{aligned}$$となります。


事前に定めた有意水準を$\alpha$とすると、

⚫️$\mathrm{p-value} \gt \alpha \Rightarrow$帰無仮説$H_0$を選択
⚫️$\mathrm{p-value} \leqq \alpha \Rightarrow$対立仮説$H_1$を選択

という判定がなされます。